TÓM TẮT
Lý thuyết về hình thoi và cách chứng minh tứ giác là hình thoi
Trong chương trình Hình học lớp 8, học sinh sẽ tìm hiểu về lý thuyết về hình thoi và cách chứng minh tứ giác là hình thoi. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tổng hợp lại những kiến thức cần nhớ về hình thoi và cách chứng minh nhanh nhất.
I. LÝ THUYẾT VỀ HÌNH THOI
1. Định nghĩa hình thoi
Hình thoi là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, là một dạng đặc biệt của hình bình hành có hai cạnh liền kề bằng nhau hoặc có đường chéo vuông góc với nhau.
2. Tính chất hình thoi
- Các góc đối diện trong hình thoi bằng nhau.
- Hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Hai đường chéo chia tứ giác thành hai góc bằng nhau (đường phân giác).
- Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành.
3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Hình thoi là tứ giác đặc biệt
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Tứ giác có hai đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.
- Tứ giác có hai đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi.
Hình thoi là hình bình hành đặc biệt
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
II. CÁC CÁCH CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THOI CỰC HAY
Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, bạn có thể áp dụng một trong những cách sau đây. Cách nào cũng hữu ích, tùy thuộc vào bài tập cụ thể để áp dụng cách chứng minh nhanh nhất.
1. Cách 1: chứng minh tứ giác có hai đường chéo là đường trung trực của nhau
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi.
Theo bài toán, ta có:
ΔABC cân tại A có trung tuyến AM
=> AM đồng thời là đường trung trực của BC
=> Tứ giác ABEC là hình thoi do có hai đường chéo là đường trung trực của nhau. (đ.p.c.m)
2. Cách 2: chứng minh tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
Ví dụ: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.
Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD
=> EH là đường trung bình của tam giác
=> EH = 1/2 BD (1)
Chứng minh tương tự ta có: EF = 1/2 AC; FG = 1/2 BD; HG = 1/2 AC (2)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra EH = EF = HG = GF
=> Tứ giác EFGH là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau. (đ.p.c.m)
3. Cách 3: chứng minh tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc
Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB; BOC; COD và DOA là đỉnh của một hình thoi.
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.
Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.
Xét ΔBMO và ΔDPO có:
Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 (đối đỉnh) và OB = OD (giả thiết)
=> ΔBMO = ΔDPO (g.c.g)
=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)
Chứng minh tương tự: ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)
Từ (6) và (7) suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)
Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. (9)
Từ (8) và (9) suy ra: MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. (đ.p.c.m)
4. Cách 4: chứng minh tứ giác là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Ví dụ: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng tứ giác IMNK là hình thoi.
Theo giả thiết ta có: M là trung điểm của BE và I là trung điểm của DE
=> MI là đường trung bình của ΔBDE
=> MI // BD và MI = 1/2 BD
Chứng minh tương tự, ta có:
NK // BD và NK= 1/2 BD
Do có MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (4)
Chứng minh tương tự, ta có: IN là đường trung bình của ΔCDE
=> IN = 1/2 CE mà CE = BD (giả thiết) => IN = IM (5)
Từ (4) và (5) => Tứ giác MINK là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. (đ.p.c.m)
III. BÀI TẬP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THOI
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có AC ⊥ CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình thoi.
Bài giải:
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD ta được:
AB // CD
AC ⊥ CD
=> AB ⊥ AC. Do đó ΔABC vuông ở A, ΔACD vuông ở C.
Do M, N là trung điểm của AD, BC theo giả thiết nên AN, CM thứ tự là trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông ABC và ACD
Do đó AN = 1/2 BC; CM = 1/2 AD
Mà AD = BC; AM = MD; BN = NC
=> AM = CM = CN = NA
Tứ giác AMCN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
Bài 2: Cho hình thoi ABCD. Trên hai cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM = DN. Gọi P, Q thứ tự là giao điểm của AM và AN với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác APCQ là hình thoi.
Tứ giác APCQ là hình thoi.
Giải thích:
ΔABM = ΔADN (c.g.c)
=> A1ˆ = A4ˆ, do đó A2ˆ = A3ˆ.
Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC ⊥ BD
ΔAPQ có đường cao AO là đường phân giác nên OP = OQ
Tứ giác APCQ có OP = OQ; OA = OC và AO là tia phân giác của PAQˆ nên tứ giác APCQ là hình thoi.
Bài 3: Cho ΔABC cân tại A, đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC, H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, I là trung điểm của DE. Tứ giác MHIK là hình gì? Vì sao?
Xét ΔBDC và ΔCEB là hai tam giác vuông có:
- Chung cạnh BC
- Góc BDC = EBC (ΔABC cân tại A)
=> ΔBDC = ΔCEB
=> EB = DC (1)
Dễ thấy ED // BC nên tứ giác DEBC là hình thang. (2)
Từ (1), (2) ta được tứ giác DEBC là hình thang cân.
Có: MK ⊥ AC; BD ⊥ AC nên MK // BD.
ΔBDC có M là trung điểm của BC; MK // BD nên MK là đường trung bình của ΔBDC
=> K là trung điểm của DC và MK = 1/2 DB
Ta lần lượt chứng minh MH, HI, IK cũng là đường trung bình của các tam giác ΔBEC, ΔBED, ΔEDC
=> HM = 1/2 EC; HI = 1/2 BD; IK = 1/2 EC.
Mà EC = BD (do DEBC là hình thang cân)
=> HI = IK = KM = MH
Vậy tứ giác HUKM là hình thoi.
Bài 4: Chứng minh rằng các trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.
Hướng dẫn:
Xét hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Ta cần chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AAˆ = Bˆ = Cˆ = Dˆ = 90∘ (1)
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD ta được:
- AM = MB; CP = PD
- AQ = QD; BN = NC
- AB = CD; AD = BC
=> MA = MB = PC = PD và AQ = BN = CN = DQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn tam giác vuông MAQ, MBN, PCN, PDQ bằng nhau
=> MN = NP = PQ = QM
Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC = 60 độ. Kẻ tia Ax song song với BC, trên tia Ax lấy D sao cho AD = DC.
a) Tính góc BAD và góc DAC.
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
c) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác ADEB là hình thoi.
Vậy đây là những kiến thức cơ bản về hình thoi và cách chứng minh một tứ giác là hình thoi. Hy vọng rằng bài viết này giúp bạn nắm chắc phần kiến thức về Hình học 8. Bạn cũng có thể tìm hiểu thêm về cách chứng minh hình vuông.
