Hình thang là một phần kiến thức quan trọng trong môn Hình học 8. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về hình thang và cách chứng minh hình thang một cách nhanh chóng và chính xác.
TÓM TẮT
Lý thuyết về hình thang
Định nghĩa
Hình thang là một tứ giác lồi có hai cạnh đáy song song. Hai cạnh đáy này được gọi là hai cạnh đáy của hình thang, trong khi hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên.
Có một số trường hợp đặc biệt của hình thang:
- Hình thang vuông: Hình thang có một góc vuông.
- Hình thang cân: Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.
- Hình thang vuông cân: Hình thang vừa vuông vừa cân và còn được gọi là hình chữ nhật.
Các tính chất của hình thang
Tính chất về góc:
- Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 độ (nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy).
- Đối với hình thang cân, hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.
Tính chất về cạnh:
- Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên sẽ song song và bằng nhau.
- Ngược lại, nếu hình thang có hai cạnh bên song song thì chúng sẽ bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau.
- Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.
Tính chất về đường trung bình:
- Đường trung bình là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai cạnh đáy sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.
- Đường trung bình của hình thang sẽ song song với hai cạnh đáy và bằng ½ tổng hai đáy.
Các loại hình thang
- Hình thang vuông: Hình thang có một góc vuông.
- Hình thang cân: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Hai đường chéo cũng bằng nhau.
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Cách chứng minh hình thang nhanh nhất
Cách 1: Chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối song song
Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, BE, AC và BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.
Ta có:
- M là trung điểm của AE
- N là trung điểm của BE
- => MN là đường trung bình ứng với cạnh AB của tam giác EAB, suy ra MN // AB (1)
- Gọi R là trung điểm của AD
- Trong tam giác ADB, RQ là đường trung bình, suy ra RQ // AB
- Trong tam giác CAD, RP là đường trung bình, suy ra RP // DC
- Vì DC // AB nên RP // AB
- RQ và RP cùng đi qua R và cùng song song với AB theo tiên đề Ơclit, nên RQ ≡ RP
- Từ đây ta suy ra QP // AB (2)
- Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ => Tứ giác MNPQ là hình thang do có một cặp cạnh đối song song.
Cách 2: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180 độ
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy một điểm B’ sao cho AB’ = AB và trên AB lấy một điểm C’ sao cho AC’ = AC. Chứng minh tứ giác BB’CC’ là hình thang.
Ta có:
- AB’ = AB
- => Tam giác BAB’ cân tại A
- => Góc ABB’ = (180°- Â)/2
- Chứng minh tương tự, ta có: Góc AC’C = (180°- Â)/2
- => Góc ABB = Góc AC’C
- => Góc ABB’ + Góc B’BC’ = Góc AC’C + Góc B’BC’
- => Góc AC’C + Góc B’BC’ = 180°
- => Tứ giác BB’CC’ là hình thang do tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180°
Bài tập về chứng minh hình thang
Bài 1
Cho hình thang vuông ABCD có A = D = 90°, C = 45°. Biết đường cao bằng 4cm, AB + CD = 10cm, tính hai đáy.
Bài 2
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE.
a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
b) Tính các góc của hình thang BEDC, biết A = 70°.
c) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC?
Bài 3
Hình thang ABCD (AB//CD) có A – D = 20°, B = 2C. Tính các góc của hình thang.
Bài 4
Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD) biết A = 3D và B – C = 30°.
Bài 5
Tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.
Bài 6
Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.
Bài 7
Tính các góc của hình thang ABCD biết A = 60° và C = 130°.
Bài 8
Tính các góc của hình thang ABCD biết A = 50° và C = 120°.
Bài 9
Hình thang vuông ABCD có A = D = 90°, C = 45°. Biết đường cao bằng 4cm. AB + CD = 10cm. Tính hai đáy.
Bài 10
Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB // CD), biết D = 2A.
Bài 11
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D AC, E AB). Chứng minh rằng tứ giác BMNC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Bài 12
Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C.
Bài 13
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân.
b) Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng A = 40°.
Bài 14
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của AC lấy điểm D, trên tia đối của AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
Bài 15
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng đi qua M và song song với CA cắt AB tại I.
a) Tứ giác ACMI là hình gì?
b) Chứng minh AB + AC < AH + BC.
Bài 16
Cho tam giác ABC, các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB và AC tại D và E.
a) Vẽ hình và tìm các hình thang trong hình vẽ.
b) Chứng minh rằng hình thang BCED có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên.
Bài 17
Cho tam giác ABC có BC = 4cm, các trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm cuẩn BE, CD. Gọi giao điểm của MN với BD, CE theo thứ tự là P, Q.
a) Tính độ dài MN.
b) Chứng minh rằng MP = PQ = QN.
Hy vọng rằng qua bài viết này, các bạn đã hiểu rõ hơn về hình thang và cách chứng minh hình thang một cách nhanh chóng và chính xác. Nếu bạn cần thêm thông tin, hãy ghé thăm VDO Software để tìm hiểu thêm.
